Permutasi dan Kombinasi dalam Himpunan: Pengertian, Rumus, Contoh Soal

Jakarta: Saat menjadi panitia perlombaan, Sobat Medcom pasti pernah menyeleksi peserta yang lolos ke babak selanjutnya dan memilih pemenang juara bertingkat, bukan? Kedua hal ini merupakan masing-masing contoh penerapan dari kombinasi dan permutasi.
 
Melansir Akupintar, permutasi adalah pengaturan sebagian atau seluruh himpunan dalam urutan tertentu, di mana urutan elemennya diperhatikan. Sedangkan, kombinasi merupakan proses pemilihan elemen dari himpunan, di mana urutan pemilihan elemennya tidak diperhatikan.
 
Terdapat dua macam permutasi, yaitu pengulangan diperbolehkan dan tidak diperbolehkan. Pengulangan diperbolehkan dapat memuat dua atau lebih elemen yang sama, seperti kunci pin pada smartphone.
Sementara itu, pengulangan tidak diperbolehkan hanya mencakup satu elemen dari tiap himpunan. Misalnya, menentukan juara bertingkat dari posisi pertama, kedua, dan seterusnya.
 
Sama seperti permutasi, kombinasi juga terbagi lagi menjadi pengulangan diperbolehkan dan tidak diperbolehkan. Contoh pengulangan diperbolehkan adalah ketika mengambil tiga bola dari suatu wadah yang berisi tiga bola merah bola biru, bisa saja terambil dua bola merah dan satu bola biru.
 
Adapun contoh kombinasi pengulangan tidak diperbolehkan ialah ketika memilih dua orang dari kelompok beranggotakan lima orang. Sebab, tidak mungkin orang pertama dan orang kedua adalah orang yang sama.

Rumus permutasi dan kombinasi

Perhitungan banyaknya permutasi dan kombinasi tak terlepas dari faktorial. Bentuk faktorial adalah sebagai berikut:
 

 
dengan n adalah bilangan positif.
 
Terdapat tiga macam rumus permutasi yang penggunaannya dapat disesuaikan dengan elemen himpunan. Ketiganya adalah sebagai berikut:

1. Rumus permutasi secara umum

 
Keterangan:
 
P: banyaknya permutasi
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan
r: banyaknya elemen himpunan yang diamati

2. Rumus permutasi siklik

 
Keterangan:
 
P: banyaknya permutasi
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan

3. Rumus permutasi dengan unsur yang sama

 
Keterangan:
 
P: banyaknya permutasi
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan
 
a, b, c, …: banyaknya elemen yang sama pada himpunan
 
Adapun rumus kombinasi adalah sebagai berikut:
 

 
Keterangan:
 
P: banyaknya permutasi
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan
r: banyaknya elemen himpunan yang diamati

Contoh soal

Agar lebih mudah dipahami, berikut empat contoh soal permutasi dan kombinasi:

Contoh soal 1

Dalam suatu kelompok terdapat 6 orang. Jika 2 orang diantaranya akan melakukan presentasi di depan kelas, berapa banyak susunan yang mungkin untuk memilih dua orang tersebut?
 
Pembahasan:
 
Karena dari 2 orang yang dipilih tidak memperhatikan urutan, maka soal ini dapat diselesaikan dengan rumus kombinasi, dengan n=6 dan r=2
 






 
Jadi, banyak susunan yang mungkin untuk memilih dua orang tersebut ada 15 susunan.

Contoh soal 2

Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi pada kode pin 4 digit dengan angka yang tidak boleh berulang?
 
Pembahasan:
 
Angka yang mungkin untuk mengisi 1 digit kode pin adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Banyak angka ini akan menjadi banyaknya elemen keseluruhan atau n=10, sedangkan r=4 karena kode pin mengandung 4 digit angka. Pada kode pin urutan dalam memasukan angka perlu diperhatikan, artinya soal ini adalah permutasi.
 




 
Jadi, banyak susunan yang mungkin terjadi pada kode pin 4 digit dengan angka yang tidak boleh berulang adalah 151.200 susunan.

Contoh soal 3

Jika ada 4 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar, maka berapa banyak posisi duduk yang mungkin untuk dilakukan?
 
Pembahasan:
 

 
Karena 4 orang ini akan duduk di meja bundar seperti pada gambar di atas, maka kita menggunakan rumus permutasi siklik dengan n=4
 





 
Jadi, banyak posisi duduk yang mungkin untuk dilakukan adalah 6 posisi.

Contoh soal 4

Jika panitia lomba ingin mengacak kata “AKUPINTAR”, maka berapa banyak susunan acak yang mungkin untuk disusun?
 
Pembahasan:
 
Pada himpunan keseluruhan terdapat elemen yang sama yaitu huruf ‘A’ yang berjumlah 2. Maka dari itu kita akan menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama, dengan n=9 dan a=2
 





 
Jadi, banyaknya susunan acak yang mungkin untuk disusun oleh panitia ada 181.440 susunan.
 
Demikianlah pembahasan mengenai permutasi dan kombinasi dalam himpunan. Semoga penjelasan di atas dapat membantu Sobat Medcom yang sedang belajar materi ini di sekolah, ya! (Nurisma Rahmatika)
 
Baca: Pengertian, Unsur, dan Contoh Operasi Hitung Aljabar